Cercle trigonométrique : Une base fondamentale des mathématiques

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Aidez votre enfant à connaitre et retenir la trigonométrie

Le chapitre concernant les complexes est une partie importante du programme de Terminale S et il devient pratiquement impossible de terminer des exercices sans savoir utiliser le cercle trigonométrique. Il est de ce fait important de revoir ensemble les bases de ce chapitre et tout ce qu’il y a à savoir dessus. Le cercle trigonométrique va notamment être utile pour ceux qui étudient les fonctions trigonométriques, mais aussi pour réussir certains exercices de géométrie ou de calcul algébrique.

Comment maîtriser le cercle trigonométrie ?

Il est tout d’abord nécessaire de définir le cercle trigonométrique. Comme son nom l’indique, le cercle trigonométrique est un cercle centré en 0 et de rayon 1.

Le cercle trigonométrique est généralement tracé dans le plan complexe, c’est-à-dire que son axe des coordonnées correspond à la partie imaginaire et son axe des abscisses correspond à la partie réelle. Il faudra alors connaitre le sens de lecture du cercle qui se fait dans le sens des aiguilles d’une montre. Son sens positif ou sens direct correspond à une lecture dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Il est donc impératif de se tenir informé de son sens afin de bien effectuer son calcul et pour ne pas se tromper.

Quelles sont les formules de trigonométrie ?

La trigonométrie est une des bases fondamentales qu’il faut absolument maîtriser en maths. Cependant, les formules de trigonométrie ne sont pas toujours évidentes à s’en rappeler malgré le fait qu’il existe des démonstrations mathématiques. Malheureusement se fier aux démonstrations mathématiques peut faire perdre énormément de temps, du coup il serait plus préférable de connaître chaque formule par cœur.

La formule d’identité remarquable

D’après le théorème de Pythagore et quel que soit le réel on a : cos^2⁡α+ sin^2⁡α=1

Les formules d’addition et de différence des arcs

On distingue deux principales formules qui sont les formules d’addition pour le cosinus et le sinus :

cos⁡(a+b)=cos⁡a cos⁡b –sin⁡a sin⁡b ;
sin⁡(a +b)=sin⁡a cos⁡b +cos⁡a sin⁡b

La tangente aura alors comme formule : tan⁡〖(a+b)〗= ( tan⁡a+tan⁡b)/(1-tan⁡a tan⁡b )

Les formules de différence sont quasiment les mêmes. Il faudra tout simplement remplacer « B » par « -B », tout en sachant que la fonction cosinus est paire et que les fonctions sinus et tangentes sont impaires.

Les formules de multiplication des arcs

Formules de multiplication des arcs sont les suivantes :

cos⁡〖(2a)〗=cos⁡² a-sin⁡² a=2 cos⁡² a-1=1-2 sin⁡² a ;
sin⁡〖(2a)〗=2 sin⁡a cos⁡a ;
tan⁡〖(2a)〗= (2 tan⁡a)/(1-tan²a) ;
sin⁡〖(3a)〗=3 sin⁡a- 4〖 sin〗^3 a ;
cos⁡〖(3a)〗= -3 cos⁡a+4cos^3 a ;
tan⁡〖(3a)〗= (3 tan⁡a- tan^3 a)/(1-3 tan² a).

Les formules de développement et de factorisation

Egalement appelées formules de Simpson, elles sont déduites à partir des formules d’addition et de différence.

Pour le développement :

cos⁡a cos⁡b=(cos⁡〖(a-b)〗+cos⁡〖(a+b)〗)/2, surtout que : cos⁡² a=(1+cos⁡〖(2a)〗)/2 ;
sin⁡a sin⁡b= ( cos⁡〖(a-b)〗-cos⁡〖(a+b)〗)/2, surtout que : sin²=(1-cos⁡〖(2a)〗)/2 ;
sin⁡a cos⁡b=(sin⁡〖(a+b)〗+sin⁡〖(a-b)〗)/2.

Pour la factorisation :

cos⁡p+cos⁡q=2 cos⁡〖(p+q)/2〗 cos⁡〖(p-q)/2〗 ;
cos⁡p-cos⁡q= -2 sin⁡〖(p+q)/2〗 cos⁡〖(p-q)/2〗 ;
sin⁡p+sin⁡q=2 sin⁡〖(p+q)/2〗 cos⁡〖(p-q)/2〗.

Les formules de l’arc moitié

Les formules de l’arc moitié sont utiles dans de très nombreux cas de problème.

En posant : t=tan⁡〖a/2〗, on obtient les formules suivantes :

sin⁡a= 2t/(1+t²) ;
cos⁡a=(1-t²)/(1+t²) ;
tan⁡a=2t/(1-t²).

Comment retenir la trigonométrie ?

Bien comprendre le cercle trigonométrique et ses nombreuses divisions est un atout majeur pour ceux qui étudient les fonctions trigonométriques. Si au premier abord retenir ces divisions peut sembler difficile, lorsque l’on comprend comme on les obtient, cela devient immédiatement un apprentissage d’une grande facilité. De plus, il est plus judicieux de savoir lire le cercle, plutôt que d’apprendre les différentes formules par cœur.

Retenir les valeurs en radians d’un cercle

Pour commencer, il faudra tracer deux lignes perpendiculaires sur une feuille de papier. Les deux lignes, l’une horizontale et l’autre verticale, doivent se croiser à angle droit sur le milieu de la feuille. Ces deux lignes vont alors correspondre respectivement aux abscisses « x » et aux ordonnées « y ».

Ensuite, à l’aide d’un compas, tracer un grand cercle dont le centre sera le point d’intersection des deux lignes précédemment tracées.

Il faudra maintenant bien comprendre la notion de radian. Tout d’abord, le radian correspond à une unité de mesure des angles. Pour faciliter le calcul du radian, le cercle trigonométrique sera alors divisé en 4 parties égales dont chaque partie correspond à une valeur en radian propre à elle. D’une manière générale, la mesure des radians commence toujours au point de coordonnées (1,0).

Après avoir calculé la valeur de chaque radian à partir de la circonférence du cercle, il faudra désormais inscrire chacune d’entre elle sur la partie du cercle correspondante :

« Est » étant le point d’origine, il vaut donc 0 radian ;
« Nord » correspond à un quart de la circonférence du cercle et vaut donc : radians ;
« Ouest » correspond à une moitié de la circonférence du cercle et vaut donc : π radians ;
« Sud » correspond aux trois quarts de la circonférence du cercle et vaut donc : radians ;

Lorsqu’un tour complet du cercle est effectué, on revient donc au point de départ avec un angle parcouru d’une valeur de 2π radians.

Bien retenir les coordonnées cosinus et sinus

Pour pouvoir retenir les coordonnées cos et sin, il sera nécessaire de les inscrire au niveau des parties de cercle correspondantes. Ainsi :

Les coordonnées d’Est sont (1, 0) ;
Les coordonnées de Nord sont (0, 1) ;
Les coordonnées d’Ouest sont (-1, 0) ;
Les coordonnées de Sud sont (0, -1).

Ensuite, il sera nécessaire de retenir certaines coordonnées du premier quadrant. Le premier quadrant correspond à la partie supérieure droite du cercle, dans laquelle toutes les valeurs sont positives. Voici ces coordonnées :

(√3/2,1/2) pour π⁄6 ;
(√2/2,√2/2) pour π⁄4 ;
(1/2,√3/2) pour π⁄3.

Comment savoir le quel de CAH SOH TOA utiliser ?

CAH SOH TOA est un moyen mnémotechnique qui correspond à :

CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ;
SOH : Sinus = Opposé sur Hypoténuse ;
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent.

Pour savoir alors lequel de CAH SOH TOA utiliser, il faudra avant tout se fier aux données possédées. En d’autres termes, si l’on connait les valeurs de l’hypoténuse et du côté adjacent, il faudra alors utiliser le Cosinus.

Qui est le père de la trigonométrie ?

Bien la trigonométrie tire ses origines depuis l’Egypte Antique, et que les Babyloniens avaient des millénaires d’avances sur le sujet, l’astronome et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) fut celui qui a établi les premières tables trigonométriques. Ce dernier est alors considéré dans l’histoire comme étant le père de la trigonométrie.

Comment introduire la trigonométrie ?

La trigonométrie est un thème qui reste encore très difficile à introduire pour les élèves de 3ème. Cela s’explique notamment au fait que les termes spécifiques et la logique existante dans la trigonométrie peuvent sembler très flous pour les élèves.

Oublier le CAH SOH TOA et autres méthodes mnémotechniques

En effet, pour des élèves du collège, il n’est pas encore nécessaire d’appliquer de telles pratiques. Il serait plus judicieux de construire avec eux des bases solides de l’apprentissage qui peuvent s’avérer payantes dans le futur.